Como apagar o histórico de mensagens do Google Hangouts
Você pode excluir ou desativar completamente o histórico de mensagens do Google Hangouts

Você pode excluir ou desativar completamente o histórico de mensagens do Google Hangouts. Quando você exclui o histórico de mensagens, o conteúdo também é removido do mensageiro no Gmail e no Hangouts em todos os dispositivos (celulares).
Vale notar que as outras pessoas no Hangouts ainda poderão ver o histórico nos seus próprios computadores e smartphones. Isso não exclui nada nos aparelhos delas.
Não é possível excluir o histórico de um grupo (chat com mais de uma pessoa), mas você pode sair da conversa. Se alguém adicionar você novamente, o histórico voltará a aparecer. As conversas podem ter até 150 pessoas e as videochamadas até 25.
Como sair de uma conversa em grupo (e não ver mais o histórico)
Para você voltar, alguém precisa convidá-lo para o grupo outra vez. Depois de entrar novamente, você poderá ver o histórico, inclusive mensagens enviadas após sua saída.
Você também pode ativar ou desativar o histórico, essa opção será alterada para todos na conversa (incluindo quem fala com você) e uma notificação aparecerá no bate-papo.
Com o histórico é desativado, é possível ver as mensagens apenas por algum tempo (não definido) nos seus dispositivos e as mensagens não são salvas e serão excluídas.
Se você usa uma conta do Google de trabalho ou de instituição de ensino (escola ou faculdade) o administrador do domínio pode definir e alterar essa configuração sozinho.