Como baixar e instalar um APK do Google Play
Baixe jogos e aplicativos da Play Store grátis e sem complicações

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Nem sempre um aplicativo está disponível na região ou é compatível seu dispositivo. E, às vezes, baixar um arquivo *.apk pode resolver esses problemas. Veja como fazer isso diretamente do Google Play e de forma gratuita.
Existem inúmeros sites para pegar o arquivo *.apk a partir de um link do Google Play. O mais recomendado é o Evozi APK Downloader. A partir dele, basta escrever o nome do pacote (com.facebook.katana, por exemplo) ou inserir a URL do app para baixá-lo. Depois, clique no botão azul e, quando a página atualizar, no botão verde. Com o arquivo *.apk em mãos, basta passá-lo para o seu celular com um cabo USB, Google Drive ou Telegram.
Outras opções de sites que fazem a mesma coisa são o APK Leecher e o APK Downloaders. O primeiro e o segundo conseguem pesquisar até pelo nome do aplicativo. O segundo, infelizmente, não aceita o link: você precisa escrever o nome do pacote.
Por padrão, o Android é configurado para não aceitar arquivos *.apk baixados pelo usuário. Para mudar isso, entre em Configurações > Segurança. Abaixo de Administração do dispositivo, você verá Fontes desconhecidas. Ative esta opção. Vale lembrar que esse caminho pode mudar em outros aparelhos, mas basta pesquisar por Fontes desconhecidas nas Configurações que você deve achar o caminho.
Depois disso, é só baixar o APK do Google Drive, Telegram ou instalar um Gerenciador de Arquivos para buscar o arquivo no armazenamento interno.