Como ver SMS do iPhone no desktop [Mac, iPad e iPod touch]
Recurso de Continuidade permite ver SMS do iPhone em outros dispositivos da Apple vinculados à mesma conta do iCloud
Se você usa iPhone e tem outro dispositivo da Apple (Mac, iPad ou iPod touch), pode ver e enviar mensagens SMS por qualquer um deles, desde que o iPhone esteja perto. Veja como ativar o recurso de Encaminhamento de Mensagens para gerenciar o SMS do iPhone em qualquer outro aparelho.

Lembrando que a mensagem SMS no iPhone é identificada pelo balão verde, enquanto o balão azul é para o iMessage, serviço da Apple que concorre com o WhatsApp e envia mensagens pela internet, sem cobrar tarifas.
Quais dispositivos podem acessar o SMS do iPhone
- Qualquer iPhone, iPad ou iPod touch com o iOS 8 ou posterior;
- Qualquer Mac com o OS X Yosemite ou superior.
Verifique se os dispositivos têm mesma conta no iMessage
No iPad ou iPod touch que poderão enviar e receber as mensagens:
- Abra o app Ajustes;
- Toque em “Mensagens”;
- Acesse o item “Enviar e Receber” e verifique se o ID Apple é o mesmo do iPhone.
No Mac:
- Abra o aplicativo Mensagens;
- Na barra de menus, clique em “Mensagens” e selecione a opção “Preferências” (ou use o atalho Command + vírgula);
- Clique em “iMessage” e verifique se a conta da Apple está vinculada.
Como ativar o encaminhamento de SMS do iPhone
- Após logar com a mesma conta da Apple no iMessage, abra o app Ajustes no iPhone;
- Toque em “Mensagens”;
- Selecione “Encaminhamento de Mensagens”;
- Ative o dispositivo para o qual poderá enviar e receber SMS do iPhone.

A partir disso, será possível gerenciar as mensagens de texto que chegam no iPhone pelo seu outro gadget da Apple, desde que o iPhone esteja próximo para atualizar a informação com a operadora.
Apenas as novas mensagens aparecerão nos outros dispositivos, bem como aquelas novas que foram enviadas. O iPhone não transferirá o histórico das mensagens para seus outros gadgets, a menos que a sincronização do iCloud para as mensagens esteja ativa também.
Com informações: Apple.